Le chapitre 6 est consacré aux contraintes dans les massifs de sol soumis à leurs « poids propre ». Les résultats donnés ici sont relatifs à des surcharges placées à la surface d’un massif non pesant. Ils ont été obtenus par Boussinesq et décrivent les suppléments de contrainte liés aux surcharges, dans tout le massif.

Obtenus en théorie pour des matériaux à comportement élastique, ces résultats sont valides pourvu que le matériau présente un rapport contrainte-déformation constant, ce qui est une approximation raisonnable pour les sols, avant la rupture. De plus, on admet que le massif est également homogène et isotrope. Si les variations de contrainte verticale sont indépendantes des propriétés élastiques du milieu, par contre les contraintes horizontales sont fonction du coefficient de Poisson. On présente quelques cas ci-dessous.

Charge ponctuelle à la surface d’un massif (figure A.17)

Le supplément de contrainte verticale en un point M du massif se calcule à partir de l’équation suivante :

Δσ_z = (3.P.z³)/(2.π.R⁵) ; (équation 10.1)

dans laquelle -P est la charge ponctuelle appliquée en O ;

• z la profondeur du point M;
• R la distance OM ; R=(r²+z²)^1/2;
• r la distance horizontale entre l’axe d’application de la charge et M.

On peut exprimer la relation ci-dessus sous la forme :

• Δσ_z = (P/z²).A ;

dans laquelle A est une fonction de r/z : A= (3/2π)/ [1+(r/z)²]^5/2.

La figure A.18 donne les variations de A en fonction de r/z sur une horizontale, on voit que le supplément de contrainte est maximal à l’aplomb du point d’application de la charge. En prenant r=0, on peut calculer l’évolution de la contrainte avec la profondeur (rien ne vous interdit de le faire).

Charge linéaire à la surface d’un massif

Le supplément de contrainte verticale en un point M du massif se calcule à partir de l’équation suivante :

• Δσ_z = (2.Q.z³)/(π.R⁴) ;

Q est la charge par unité de longueur, z et R ayant la même signification que dans l’équation 10.1.

Charge uniformément répartie sur une surface

Les résultats sont obtenus par intégration des équations précédentes sur la surface considérée. On donne dans le tableau ci-dessous les résultats pour une verticale située à l’aplomb du coin d’une surface rectangulaire de largeur B et de longueur L (figure A.19), sous la forme d’un facteur d’influence I calculé en fonction de B/z et de L/z ; le tableau est symétrique.

• Δσ_z = I.q ou q est la contrainte verticale unitaire s’exerçant sur la surface chargée.

En appliquant le principe de superposition on peut, par exemple, obtenir la valeur au centre d’une zone chargée en cumulant 4 coins.