Bande d'énergie dans les solides

Les électrons peuvent passer d'un site à l'autre par effet tunnel. La probabilité de passer dépend exponentiellement de l'épaisseur de la barrière et de la racine de la hauteur de la barrière (voir exercices volet 1). Ainsi, les électrons sur les couches dites profondes « voient » une barrière grande, alors que les électrons des couches dites « externes » voient une barrière de potentiel plus réduite. Comme la loi est exponentielle décroissante, la probabilité de traverser est très faible, même pour les électrons des couches externes. Donc seuls les électrons des couches externes auront une probabilité de passer, cette probabilité devenant ultra-négligeable pour les autres électrons.

La probabilité pour sauter sur un site à 2a est le carré de la probabilité pour passer sur un site voisin. Cette probabilité sur les sites voisins étant très faible, elle devient ultra-négligeable pour 2 sites ou plus.

On reprend donc la même formulation que l'atome d'hydrogène (toujours en simplifiant à l'extrême, ici on néglige la répulsion coulombienne entre électrons, hypothèse forte), les éléments diagonaux représentant l'énergie d'un électron sur la couche σ pour l'atome s'il était seul, les éléments non diagonaux étant non nuls seulement juste à côté de la diagonale, représentant la possibilité de l'électron sur le site de passer en i-1 ou i+1. La matrice est de dimension NxN car il y a N sites.

L'électron doit trouver un état vide en raison du principe d'exclusion de Pauli. C'est possible si la bande n'est pas complétement remplie. En revanche, si elle est totalement remplie, ce n'est plus possible et il n'y a pas conduction.

Si on raisonne à partir de l'analyse précédente, la bande résultant du niveau 3s est remplie. La bande résultant de 3p contient 6N états pour 2N électrons ; donc Si devrait conduire le courant !

En fait, ce bilan est erroné car Il faut alors faire une combinaison linéaire en prenant en compte les deux orbitales 3s et 3p qui sont très proches en énergie. Si on combine les deux types d'états, et qu'on rapproche les atomes de silicium, on aboutit à une situation ou la bande de volume qui en résulte est totalement remplie, montrant que Si ne conduit pas le courant (à température nulle).