Puits de potentiel infini

L'énergie totale de la particule est finie, et la fonction d'onde également (sinon la norme diverge). Donc on aboutit dans l'équation de Schrödinger à un dilemme : le terme est fini, alors que H est infini. Il n'y a qu'une seule solution mathématique, c'est que la fonction d'onde soit nulle. Il n'y a donc pas d'état possible en dehors de la boîte.

L'expression du flux de particule est la suivante :

Ainsi si la fonction d'onde n'est pas nulle, la continuité du flux implique la continuité de la dérivée de la fonction d'onde. Mais si la fonction d'onde est nulle ce n'est plus nécessaire.

Il convient de résoudre l'équation :

qui donne lieu à une solution générale sinusoïdale compte tenu du signe négatif de la constante devant la fonction d'onde, soit :

La fonction d'onde doit être continue en 0 et en L donc on obtient :

A ne peut être nul car la fonction d'onde serait nulle, correspondant à une probabilité de présence nulle sur tout l'espace, donc à l'inexistence de la particule. Le sinus doit donc être nul, imposant une condition de quantification sur le vecteur k, et donc sur l'énergie :

La fonction d'onde s'écrit ainsi comme :

La normation de la fonction d'onde conduit ainsi à :

soit

La fonction d'onde s'écrit ainsi, en remarquant qu'une fonction d'onde est toujours définie à un terme de phase près :

L'expression de l'énergie s'écrit, en pensant à la relation de De Broglie :

L'énergie totale est égale à l'énergie cinétique car l'énergie potentielle est nulle ici.

la dérivée de la fonction d’onde n’est pas continue, en effet :

Néanmoins, la fonction d’onde étant nulle en 0, le flux est bien nul

En modélisant l'attraction du noyau par un tel potentiel, on obtient bien dans ce cadre des niveaux discrets disponibles pour les électrons. Par contre, on n'obtient pas la dépendance en 1/n2 observée. Pour cela, il faut traiter le problème avec un potentiel en 1/r, expliciter dans le cours.

L'équation de Schrödinger est linéaire, donc toute combinaison linéaire des fonctions propres vérifiera cette équation.