Analogie entre fonction d'onde et optique

1- Résolution mathématique

a) Donner les équations de Schrödinger indépendantes du temps dans les 2 régions.

1- Résolution mathématique

b) On choisit des solutions du type :

Région 1 :

Région 2 :

Quelle est la signification de ces termes ?

2- Relation sur les énergies

Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer A, B et C. On s'intéresse tout d'abord à la région 1. En injectant la solution choisie dans l'équation de Schrödinger vraie pour tout  :

a) Trouver la relation entre et

Solution

On commence par calculer les dérivées secondes :

[Zoom...]

En injectant la fonction d'onde 1 proposée on trouve :

Que l'on peut écrire comme :

Et ceci doit être vrai quel que soit r, donc les coefficients devant les exponentielles doivent être nul d'où :

2- Relation sur les énergies

b) De quelle nature est l'énergie ? Justifier.

2- Relation sur les énergies

c) Pour la région 2, de la même manière, trouver la relation entre

Comment comprendre cette expression ?

2- Relation sur les énergies

d) Etablir la relation entre

Solution

Garder à l'esprit que nous cherchons une solution dans tout l'espace, donc l'énergie est la même partout. Les expressions précédentes nous permettent d'écrire :

[Zoom...]

3- Détermination des angles

A partir de l'équation de continuité sur la fonction d'onde et sa dérivée en x=0 valable quelque soit y :

a) Trouver la relation entre

Solution

La continuité de la fonction d'onde en x=0 donne :

Pour que cela soit vrai quel que soit y, il est donc nécessaire que :

3- Détermination des angles

b) A l'aide de la question 2, démontrer alors que

3- Détermination des angles

c) Déterminer la relation entre

Solution

3- Détermination des angles

d) En déduire qu'il existe un angle critique au-delà duquel il y a réflexion totale. Donner son expression en fonction de k0 et k1.

Solution

On a vu que d'où ce qui conduit à l'expression de l'angle de l'onde transmise suivante :

Cet angle ne peut être supérieur à 90° donc il existe un angle d'incidence critique pour lequel il n'y a plus de transmission, soit :

Réflexion totale si tel que

4- Bilan des flux

a) En utilisant les relations de continuité et ce qui précède, donner le système d'équation régissant les rapports et et les calculer en fonction de .

Solution

Continuité de la fonction d'onde en x=0 pour tout y : A + B = C

Continuité de la dérivée en x=0 pour tout y :

Donc en posant et , on trouve :

4- Bilan des flux

b) Par analogie avec l'optique, calculer les rapports des flux transmis T et réfléchi R selon x. Vérifier la conservation du flux.

Solution

Flux incident selon x :

Flux réfléchi selon x :

Flux transmis selon x :

Ainsi le coefficient de réflexion s'écrit :

Et le coefficient de transmission :

Il est aisé de vérifier que R+T=1, qui, comme en optique, confirme la conservation de l'énergie, proportionnelle au carré des champs et non aux champs. Ici aussi, c'est la densité de probabilité qui est conservée et non l'amplitude de probabilité ( , comme en optique).

5- Application numérique

A.N. : le faisceau d'électrons incidents est obtenu à partir d'un filament de tungstène chauffé, suivi d'une grille d'accélération portée à la tension V=100 Volts. On donne Wo=5 eV

a) Calculer la longueur d’onde des électrons ainsi obtenus

Solution

5- Application numérique

A.N. : le faisceau d'électrons incidents est obtenu à partir d'un filament de tungstène chauffé, suivi d'une grille d'accélération portée à la tension V=100 Volts. On donne Wo=5 eV

b) Calculer l'angle de réflexion totale.

Solution

5- Application numérique

A.N. : le faisceau d'électrons incidents est obtenu à partir d'un filament de tungstène chauffé, suivi d'une grille d'accélération portée à la tension V=100 Volts. On donne Wo=5 eV

c) Calculer l'angle de réflexion totale.

Solution

On a :

[Zoom...]

6- Interprétation conceptuelle

a) Tout cela ne vous rappelle-t-il pas quelque chose ? Est-ce surprenant ?

Indice

6- Interprétation conceptuelle

b) Tel qu'est posé le problème, peut-on raisonner de façon corpusculaire ?

6- Interprétation conceptuelle

c) Le cas Wo < 0 est-il envisageable ?