Cas de la barrière de potentiel : microscopie tunnel

Pour qu'un courant passe, il faut que la probabilité de présence ne soit pas trop faible. Or on a vu qu'elle chute très rapidement au delà de quelques nm. Il faut donc que la barrière ne soit pas plus épaisse qu'un nanomètre.

On applique la même méthode que pour la barrière ou le puits, mais il y a 3 régions à considérer ici, ce qui donne les équations et solutions générales pour E < Uo :

Il s'agit maintenant de trouver les solutions physiques du problème en fonction des conditions aux limites :

• Encore une fois, il n'est pas possible de normer la fonction d'onde totale puisque nous avons pris des solutions en onde plane étendue sur un espace (semi)infini. On donnera donc les solutions en fonction de A. On posera A=1 par la suite pour simplifier les écritures.

• Il n'y a pas d'onde provenant de l'infini positif donc F=0.

• Continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée.

Les conditions aux limites s'écrivent ainsi comme :

Les deux premières équations donnent une relation entre C et D en les additionnant. De même en faisant le rapport des deux dernières équations, soit en posant  :

On obtient ainsi les solutions pour C et D et du coup pour E :

On reporte l'expression de ce qui donne :

On reconnaît 2shqs et 2chqs, d'où :

Le coefficient de transmission s'écrit ainsi, en remarquant que :  :

Qui est bien la formule demandée.

représente le taux d'atténuation de l'onde dans la barrière, et nous avons vu qu'il était très faible soit << 1. L'expression du coefficient de transmission devient :

Le rapport des courants vaut :

Le courant a donc été multiplié par 3 ! Si à l'inverse, on suppose qu'on est capable de détecter une variation de courant de 10%, on est capable de détecter des variation de hauteur telle que : soit  ! La résolution verticale est donc excellente.

Comme une tension est appliquée, l'énergie potentielle est augmentée sur la pointe, décalant l'énergie totale. Le potentiel étant continu, il n'est plus constant dans la barrière, comme le montre la figure suivante :

On est donc amené à résoudre l'équation de Schrödinger dans la barrière avec un potentiel non constant, conduisant à une équation différentielle du second ordre à coefficient non constant, pour laquelle nous ne disposons pas de méthode générale de résolution.