Métal et barrière de potentiel

Dans la région où le potentiel est nul, on est amené à résoudre la même équation que dans l'exercice précédent, mais avec des conditions aux limites différentes, soit :

De solution générale :

Du côté vide, la situation est différente, car la constante est alors positive :

La solution n'est plus une sinusoïde mais une exponentielle. Comme la fonction d'onde doit être finie à l'infini, pour que la norme soit finie, seules les solutions en exp-qx sont possibles :

Les conditions de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée en x=0 donnent :

Les solutions peuvent donc s'écrire comme :

D'où les densités de probabilité données dans le cours.

La solution envisagée dans notre métal est une onde plane sur un demi-espace infini. Or on sait qu'une telle solution d'onde plane non bornée dans l'espace ne peut donner une probabilité finie. Pour s'en sortir, il faudrait limiter la taille du métal en mettant une autre surface, ce qui revient à reprendre le problème du puits, mais cette fois non infini.

Contrairement au cas du puits infini, la fonction d'onde en dehors de la boîte n'est pas nulle. La probabilité de trouver l'électron en dehors du métal est donc non nul mais décroît exponentiellement à mesure qu'on s'éloigne de la surface comme :

ce rapport doit être égal à 1/100e soit : d'où

Le calcul de donne (attention à mettre l'énergie en joule) :

La probabilité de trouver l'électron en dehors du métal n'est donc significatif que très proche de la surface.