Puits de potentiel fini

Pour les 3 régions, les équations de Schrödinger donnent si E<Uo :

La probabilité de présence ne peut être infinie, ce qui élimine les termes en exp-qz du côté des z négatifs, et exp+qz du côté des z positifs. La continuité de la fonction d'onde impose selon les 2 cas :

• Cas symétrique : A=F, et C=D ;

• Cas antisymétrique : A=-F et C=-D.

D'où les solutions proposées.

La probabilité de présence hors de la boîte n'est pas nulle, donc il est possible de trouver la particule en dehors du puits, contrairement au cas du puits infini.

Plaçons-nous tout d'abord dans le cas symétrique. Les conditions aux limites pour z=L/2 (symétrique pour z=+L/2) donnent :

En faisant le rapport des deux équations, on élimine A et B et il nous reste la condition de quantification sur k (donc sur l'énergie) suivante :

Le cas antisymétrique se traite de la même façon et mène à la condition suivante :

Si E<<Uo on voit immédiatement que q>>k, et les conditions de quantification deviennent pour les deux cas symétrique et antisymétrique respectivement :

Ces deux conditions se réunissent en une seule, à savoir :

On retrouve les mêmes niveaux d'énergie que pour le puits infini.

C'est le module carré de la fonction d'onde, qui représente la probabilité de présence, qui a une signification physique au sens de la mesure. Il se trouve que le module carré des amplitudes de probabilité antisymétriques est bien symétrique. Ainsi sur le schéma suivant sont représentés les premiers niveaux où les fonctions d'onde alternent de symétrique à antisymétrique, alors que la probabilité de présence est toujours symétrique :

Nous verrons par la suite que ces notions de symétrie et d'antisymétrie des fonctions d'onde sont d'une grande importance en physique quantique.