Exercices de compréhension du cours

Les états propres sont des états stationnaires, c'est-à-dire qui n'évoluent pas au cours du temps. Plus précisément, c'est la probabilité de présence, donc le module au carré de la fonction d'onde, qui est indépendant du temps. Ces états représentent ainsi les niveaux d'énergie discrets proposés par Bohr, calculable à l'aide de l'équation de Schrödinger.

Nous avons vu en mécanique ondulatoire, et plus particulièrement dans le cas du puits infini (le cas le plus simple à résoudre pour décrire des électrons piégés par un potentiel), que la résolution de l'équation de Schrödinger conduit à des solutions stationnaires, qui correspondent aux états où peuvent se mettre les électrons. On parle d'états propres, comme les modes propres que vous avez vus pour la corde vibrante. L'équation de Schrödinger étant linéaire, cela veut dire que toute composition linéaire de ces états est une solution. Mais encore mieux, toute solution est décomposable dans une base constituée de ces états. On peut donc écrire la fonction d'onde comme un vecteur dans cette base.

L'équation de Schrödinger devient ainsi une équation matricielle, l'opérateur hamiltonien devenant ainsi une matrice.

L'équation de Schrödinger est alors une équation aux valeurs propres. La simple diagonalisation de la matrice donne les niveaux d'énergie possibles (valeurs propres) et les fonctions d'onde associées (vecteurs propres).

C'est la non –commutativité. Si on transpose le principe d'incertitude à ce nouveau formalisme, les inégalités peuvent alors s'écrire en fonction du commutateur des deux opérateurs (la position et la quantité de mouvement par exemple). On est alors amené à multiplier des matrices. Or on sait que la multiplication de matrice ne commute pas dans le cas général. Le fait d'utiliser un espace où les opérations sur les vecteurs propres / fonction d'onde ne commutent pas dans le cas général permet de construire une théorie ou le principe d'incertitude ressort naturellement. Remarquez qu'en mécanique ondulatoire, le principe d'incertitude n'apparait pas de façon explicite, même si les fonctions d'onde le vérifient dans le cas du puits par exemple (voir exercices volet1).

Si on mesure par exemple l'énergie d'une particule, on trouvera comme résultat uniquement les valeurs propres de l'hamiltonien qui est l'opérateur énergie. Donc si cet hamiltonien possède plusieurs valeurs propres différentes, et que l'état du système qu'on mesure est dans un mélange d'états, le résultat ne peut être connu à coup sûr. La seule chose qu'on puisse dire est que les seules mesures possibles sont les valeurs propres. En revanche, si la particule est dans un état propre, alors là oui, on connaît le résultat de la mesure à coup sûr.

Rappelons que le postulat 5 indique que si on mesure un système, alors on change l'état du système après la mesure. Souvenez-vous de l'expérience des fentes d'Young (volet1 de ce cours), dès qu'on cherche à détecter par où est passé le photon, on perd la figure d'interférence. C'est ce postulat qui permet de rendre compte du résultat de cette expérience : lorsqu'on cherche à savoir où est passé le photon, on fait une mesure, et on change l'état du système.

A partir de cette nouvelle théorie, on démontre la relation fondamentale de la dynamique. Ce n'est plus un postulat comme en physique classique. Donc la théorie quantique est « au-dessus » de la théorie classique.

Nous nous sommes restreint à la physique quantique non-relativiste. Donc cette théorie n'englobe pas la physique relativiste. D'ailleurs, l'équation de Schrödinger ne s'applique pas au photon ! Il faudrait aller plus loin et traiter l'équation de Dirac qui permet une généralisation, mais cela sort du cadre de ce cours.