4 - Conclusion et perspectives

Le traitement mathématique de la mécanique ondulatoire par l'utilisation d'espace vectoriel est à la fois très élégant mais aussi très déroutant parce que très abstrait. C'est la principale difficulté de cette approche, car si elle permet de simplifier des problèmes très ardus à résoudre analytiquement, elle semble nous éloigner de la physique. Il faut s'y habituer, mais soyez conscient d'un point essentiel : essayer de garder à l'esprit que les mathématiques sont un outil pour décrire le monde physique observable. Autrement dit, nous observons des résultats d'expérience, et nous utilisons les mathématiques adéquates pour construire un modèle rendant compte des observations. Si vous avez compris l'intérêt d'utiliser ces espaces vectoriels dans le cadre physique qui s'imposait à vous, alors vous les dompterez plutôt que de les subir.

De nombreuses applications directes de ces concepts ont vu le jour et cela de façon spectaculaire. De nouveaux phénomènes comme la supraconductivité, la superfluidité ont pu être justifiés de façon purement quantique. La Résonnance Magnétique Nucléaire (RMN) est un outil fondamental pour l'imagerie médicale (IRM pour Imagerie par Résonance Magnétique), largement utilisé dans nos hôpitaux. L'horloge atomique a permis de définir avec une très grande précision une échelle de la seconde, et ainsi de tester la relativité restreinte par des mesures très fines du temps. Mais ces horloges sont aussi dans des satellites servant à la géolocalisation sur terre (les fameux GPS, Global Positioning System). Et n'oublions pas les progrès considérables réalisés en chimie grâce à la théorie quantique. Actuellement les propriétés électroniques remarquables d'arrangements particuliers de carbone (graphène : feuillet constitué d'atomes de carbones répartis sur un réseau hexagonal - nanotube de carbone : feuillets de carbone enroulés en tube, fullerène - sphère de carbone, pouvant posséder des symétries d'ordre 5 de type ballon de football) leur confèrent des propriétés mécaniques ou électriques tout à fait hors du commun. Certaines de ces applications sont abordées dans les exercices ou/et dans les applications proposées dans ce cours.

Ce cours ne constitue cependant que les bases de la théorie quantique. Que nous permet-il d'aborder par la suite ? Citons quelques grands thèmes développés dès l'avènement de la théorie :

• Nous avons vu que l'équation de Schrödinger est mathématiquement difficile à résoudre lorsque le potentiel d'interaction dépend des coordonnées d'espace ou/et de temps. Des méthodes d'approximation ont été développées en considérant que le potentiel d'interaction entre deux particules pouvait être considéré comme petit par rapport aux hamiltoniens des particules seules (méthode des perturbations). Ces méthodes ont été largement développées en chimie et en physique de la matière condensée.

• L'étude du cas particulier de potentiel correspondant à l'oscillateur harmonique (introduit dans un exercice) est également d'un très grand intérêt car il permet de poser les bases du traitement quantique des champs. Les opérateurs création et annihilation de particules sont alors introduits.

• L'équation maitresse de la théorie exposée ici n'est pas relativiste. Dès 1926, les chercheurs se sont attaqués à ce problème et Paul Dirac a proposé en 1928 une équation relativiste de l'électron portant son nom. Cette équation fut à la base d'avancées considérables en physique des particules. Le spin apparait naturellement, on découvre l'antimatière, les particules peuvent être considérées comme des champs et la théorie quantique des champs se développe. D'autres nombres quantiques sont introduits et le modèle dit standard définissant les particules par des arrangements de nombres quantiques est élaboré. De nouvelles particules sont prédites puis découvertes, jusqu'au boson de Higgs dont le CERN proclame la première observation en juillet 2012.

• Il est naturel à la suite de ce cours de considérer les symétries dans les objets étudiés. Nous en avons esquissé une ébauche très sommaire en examinant le rôle d'une rotation sur le moment cinétique. Prenons l'exemple de la molécule NH3. De nombreuses symétries existent, en particulier par rotation des axes des liaisons NH. La fonction d'onde ne doit pas changer après rotations adéquates de ces axes. Il est ainsi très instructif d'examiner les opérations sur les fonctions d'onde en résultant. La théorie des groupes est alors d'une grande utilité. Ces notions de symétries font également partie intégrante de la physique des particules.

• Que deviennent les propriétés macroscopiques de la matière constituée d'atomes? C'est l'objet de la physique statistique qui prédit le comportement global d'un grand nombre de particules à partir du comportement quantique de chacun. Le théorème spin-statistique donne le taux d'occupation des niveaux d'énergie à une température donnée pour les bosons d'une part –statistique de Bose-Einstein- et pour les fermions d'autre part –statistique de Fermi-Dirac. Il est fort à parier que la physique statistique vous permettra de comprendre beaucoup mieux la thermodynamique développée au 19ème siècle. La condensation de Bose-Einstein qui permet de condenser des bosons sur un même niveau d'énergie est à la base de nombreuses expériences spectaculaires réalisables à l'aide des outils technologiques actuels (atomes ultra-froids).

Encore tant d'aspects si intéressants à étudier. Souhaitons que nous vous en ayons donné l'envie.