Relativité et notions de quadrivecteurs

Le quadrivecteur espace-temps s’écrit (x,y,z,ict) et sa norme s’écrit donc comme :

C'est l'équation du front d'une onde sphérique et est donc nulle. Elle est constante dans chaque référentiel, ce qui traduit le fait que la vitesse de la lumière ne dépend pas du référentiel choisi pour la mesurer. C'est pour cette raison que l'espace vectoriel à 4 dimensions a été construit ainsi.

Le quadrivecteur impulsion-énergie s’écrit (px,py,pz,,iE/c) et sa norme s’écrit donc :

Comme pour l'espace-temps, la norme de ce vecteur est constante par changement de référentiel. Ainsi dans le référentiel ou la particule est fixe, p=0 et E=m0c2, et la constante vaut donc m02c2. On retrouve l'expression de l'énergie valable pour les corpuscules ou les ondes, dans n'importe quel référentiel :

m0=0 donc

On retrouve la relation des quanta d'Einstein.

D’où en ne gardant que les termes du second ordre en v/c, on obtient :

On obtient ainsi que l'énergie de la particule est égale à son énergie cinétique, additionné du terme d'énergie au repos. S'il n'y a pas de création ou d'annihilation de particules, ce terme d'énergie au repos peut être oublié, car l'énergie est alors définie à une constante prêt. Par contre, vous vous rendez bien compte que lors de réaction avec création ou d'annihilation de particules, même si les vitesses des particules sont non relativistes, il ne faut surtout pas oublié ce terme ! Vous voyez également qu'une réaction peut conduire à une création d'énergie (par perte de masse convertie en énergie), à la base du fonctionnement des centrales nucléaires.