Equation de Schrödinger

La démonstration est dans le cours. Apportons quelques détails : En écrivant la fonction d'onde comme et en l'injectant dans l'équation de Schrödinger générale, on obtient, en séparant les variables :

Ainsi, le terme de gauche ne dépend que de la position, et le terme de droite que du temps. Ces variables étant indépendantes, il est donc indispensable que ces droites soient constants par rapport aux variables. Appelons B cette constante. L'intégration de l'expression de droite mène à :

Or est proportionnel à une fréquence, donc B est une énergie, que l'on note E. Le premier terme de l'équation précédente devient donc :

Les particules étant indépendantes, on peut séparer les variables dans la fonction d'onde soit : . En l'injectant dans l'équation de Schrödinger on obtient :

Les indices sur les laplaciens indiquent le type de coordonnées sur lesquelles s'effectue la dérivation. En divisant par la fonction d'onde totale, on isole les variables dans l'équation :

Il convient de considérer la forme de l'énergie potentielle U. Les particules étant indépendantes, on peut séparer cette énergie en deux termes, l'une dépendant de , l'autre de  : . L'équation précédente peut ainsi s'écrire comme :

La séparation des variables est bien effectuée, les deux termes sont donc constants et on aboutit en prenant cette constante nulle (l'énergie est défini à une constante près) à deux équations de Schrödinger pour chaque particule :

et idem pour

On remarque également que l'hamiltonien total s'écrit en fonction des hamiltoniens individuels : , et donc que l'énergie totale est bien la somme des énergies individuelles .