Test de compréhension du cours

L'expérience de Davisson et Germer a consisté à faire diffracter des électrons. C'est donc la diffraction.

En optique, l'intensité est donnée par le carré du module du champ électrique. Si on raisonne de façon corpusculaire pour la lumière, l'intensité est donc la probabilité de trouver le photon sur le détecteur. Le carré du module de la fonction d'onde pour une particule représente donc la probabilité de présence de la particule. Feynman a ainsi proposé de nommer la fonction d'onde amplitude de probabilité, terme plus explicite.

La probabilité de présence dans tout l'espace doit être finie (et égale à 1 pour un temps donné). Ce n'est pas le cas pour une onde plane, qui a une étendue spatiale infinie. Il faut donc limiter l'étendue spatiale. On prend pour cela une somme sur k d'ondes planes d'amplitudes A(k).

Les lois de la transformation de Fourier permet de montrer que dans ce cas la position et la fréquence sont indéterminées dans une certaine gamme, justifiant ainsi les relations d'indétermination de Heisenberg.

D'après De Broglie, p et k sont liés. Donc p représente l'onde et x représente la position. Si on connaît précisément x caractéristique d'une particule puisqu'elle est localisée, alors on ne peut avoir aucune information sur k en raison du principe. Cela explique pourquoi une expérience peut être soit décrite de façon corpusculaire, soit de façon ondulatoire selon le type de mesure effectué.

Il faut que l'énergie totale de la particule soit la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.

Les variables de temps et de position sont séparables dans l'équation de Schrödinger dans le cas simple où l'hamiltonien ne dépend pas du temps. On obtient ainsi la fonction d'onde spatiale, dont la norme est égale à la norme de la fonction complète avec sa dépendance en temps. Comme c'est la probabilité de présence qui a un sens physique, c'est suffisant.

Il faut écrire les termes dans le bon ordre puisqu'aux grandeurs dont on cherche la moyenne sont associés des opérateurs qui peuvent contenir des fonctions mathématiques qui agissent sur la fonction d'onde.

1. Probabilité de présence égale à 1 sur tout l'espace = norme égale à 1 ;

2. La probabilité de présence ne peut prendre 2 valeurs à une même position = continuité de la fonction d'onde ;

3. Conservation du flux de particules = continuité de la dérivée de la fonction d'onde.

L'équation de Schrödinger stationnaire est une équation différentielle du second ordre à coefficient non constant, à cause du potentiel. Il n'y a donc pas de solution générale. Un cas simple cependant permet d'admettre des solutions générales, c'est le cas où le potentiel est constant : il s'agit en effet dans ce cas de résoudre une équation différentielle du second ordre à coefficient constant.

Elles viennent de la résolution de l'équation de Schrödinger stationnaire pour un potentiel central en 1/r.

La résolution de l'équation de Schrödinger pour un potentiel périodique conduit à l'existence de bandes de niveaux d'énergie accessibles, séparées par des bandes interdites appelées gap. Elle permet de rendre compte de la conduction électronique dans les matériaux, selon le remplissage des bandes : conducteur, isolant, semi-conducteur.